Question

如圖，正方形ABCD中，BE=CF．
（1）求證：△BCE≌△CDF；
（2）求證：CE⊥DF；
（3）若CD=4，且DG²+GE²=18，則AE=______．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠CGE，
∵在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；

（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；

（3）連接DE，
∵∠CGF=90°，
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DG²+GE²=18，
∴DE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=4，
∴AE===，
故答案為．
分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可得DC=BC，∠DCF=∠CGE，結(jié)合BE=CF，于是可以證明△BCE≌△CDF；
（2）由△DCF≌△CBE得到∠BCE=∠CDF，結(jié)合角角之間的數(shù)量關(guān)系，證明出CE⊥DF；
（3）連接DE，首先證明△DGE是直角三角形，利用勾股定理結(jié)合正方形的性質(zhì)即可求出AE．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，此題難度一般．