Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長(zhǎng)為，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)除外）.

（1）求∠BAC的度數(shù)；

（2）求△ABC面積的最大值.

（參考數(shù)據(jù)： ，，.）

 

Answer 1

解：(1) 解法一

連接OB，OC，過(guò)O作OE⊥BC于點(diǎn)E.

           ∵OE⊥BC，BC=，

∴. 

           在Rt△OBE中，OB=2，∵，

           ∴,  ∴，

           ∴.    

解法二

連接BO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD.

       ∵BD是直徑，∴BD=4，.

       在Rt△DBC中，,

           ∴，∴.

(2) 解法一

因?yàn)椤?i>ABC的邊BC的長(zhǎng)不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)A落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處.      

過(guò)O作OE⊥BC于E，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn).連接AB，AC，則AB=AC，.

       在Rt△ABE中，∵，

       ∴，

           ∴S_△ABC=.

           答：△ABC面積的最大值是.          

           解法二

因?yàn)椤?i>ABC的邊BC的長(zhǎng)不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)A落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處.  

過(guò)O作OE⊥BC于E，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn).連接AB，AC，則AB=AC.

∵,    ∴△ABC是等邊三角形.       

在Rt△ABE中，∵，

∴，

            ∴S_△ABC=.               

答：△ABC面積的最大值是.