Question

如圖，∠AOB=30°，過(guò)OA上到點(diǎn)O的距離為1，3，5，7，…的點(diǎn)作OA的垂線，分別與0B相交，得到圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為S₁，S₂，S₃，…．則
（1）S₁=    ；
（2）通過(guò)計(jì)算可得S₂₀₀₉=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）分析知奇數(shù)的通式為：2n-1（n為正整數(shù)），設(shè)陰影梯形的上底和下底距點(diǎn)O的長(zhǎng)分別為a和b，則可以表達(dá)出S_n的表達(dá)式，將每個(gè)梯形的上底和下底距點(diǎn)O的長(zhǎng)代入，求解即可；
（2）第2009個(gè)梯形前面已有2008×2個(gè)奇數(shù)，2009個(gè)梯形上底距點(diǎn)O的距離為第2008×2+1個(gè)奇數(shù)，下底為第2008×2+2個(gè)奇數(shù)．
解答：解：（1）設(shè)陰影梯形的上底和下底距點(diǎn)O的長(zhǎng)分別為a和b，
則S_n=b×btan∠AOB-a×atan∠AOB=（b²-a²），
又∵梯形1距離點(diǎn)O的距離a=1，b=3，
∴S₁=（3²-1²）=；
故答案為：；

（2）第2009個(gè)梯形前面已有2008×2個(gè)奇數(shù)，
2009個(gè)梯形上底距點(diǎn)O的距離為第2008×2+1個(gè)奇數(shù)，
下底為第2008×2+2個(gè)奇數(shù)，
∴第2009個(gè)梯形的兩邊長(zhǎng)分別為：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S₂₀₀₉=（8035²-8033²）=5356．
故答案為：5356．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生對(duì)含30度角的直角三角形，梯形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，同時(shí)還考查學(xué)生分析、探究問(wèn)題及運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題的能力．有一定難度．屬于難題．