Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥PC，交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)BP=BC時(shí)，求證：BQ=BP．
（2）當(dāng)∠A=30°，AB=4時(shí)，設(shè)BP=x，BQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．

Answer 1

（1）證明：∵BP=BC，∴∠BPC=∠BCP．
∵PQ⊥PC，∴∠BPC+∠BPQ=90°，∠BCP+∠BQP=90°．
∴∠BPQ=∠BQP．
∴BQ=BP；

（2）作PH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴∠ABC=60°，BC=2．
∵BP=x，
∴，．
∴．
∵PQ²=PH²+QH²，PQ²=CQ²-CP²=CQ²-（PH²+CH²），
∴PH²+QH²=CQ²-（PH²+CH²），即2PH²+QH²=CQ²-CH²．
∴．
整理，得4y-xy=2x²-2x．
∴所求的函數(shù)解析式為．
定義域?yàn)?＜x＜4．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等推知∠BPC=∠BCP；然后由垂直的定義、等量代換證得∠BPQ=∠BQP．易證結(jié)論；
（2）作PH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．通過解直角△ABC知∠ABC=60°，BC=2．則根據(jù)圖示與勾股定理求得，PH²+QH²=CQ²-（PH²+CH²），即2PH²+QH²=CQ²-CH²．所以將有關(guān)線段的長(zhǎng)度代入其中，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)．在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是所對(duì)的斜邊的一半．