Question

（2013•吉安模擬）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交AB于點D，點P是⊙O上AB上方的一個動點（不經過A、B兩點），OC⊥AB，若設∠A=α，∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．
（1）求證：CM與⊙O相切；
（2）當圓心O在∠P內時，直接寫出α的取值范圍；
（3）若OC=4，PB=4

2

，求PC的長．

Answer 1

分析：（1）連結OB，根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得到AC弧=BC弧，再根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠BCP，于是由∠APB=60°得到∠BPC=30°，然后利用∠BOC=2∠BPC=60°可判斷△OBC為等邊三角形，則∠MCB=30°，可計算出∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）取特殊情況：當O點在PA上，即AP為直徑，根據(jù)圓周定理得∠PBA=90°，而∠APB=60°，得到此時∠A=30°；當O點在PB上，即BP為直徑，得到∠A=90°；由此得到當圓心O在∠APB內時，α的取值范圍為30°＜α＜90°；
（3）作BE⊥PC于E，如圖，在Rt△PBE中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到BE=

1

2

PB=2

2

，PE=

3

BE=2

6

，再由△OBC為等邊三角形得BC=OC=4，
則可根據(jù)勾股定理計算出CE，然后利用PC=PE+CE進行計算即可．

解答：（1）證明：連結OB，如圖，
∵OC⊥AB，
∴AC弧=BC弧，
∴∠APB=∠BCP，
∵∠APB=60°，
∴∠BPC=30°，
∴∠BOC=2∠BPC=60°，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠OCB=60°，
∵∠OCB=2∠BCM，
∴∠MCB=30°，
∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，
∴OC⊥MC，
∴CM與⊙O相切；

（2）解：當O點在PA上，即AP為直徑，則∠PBA=90°，而∠APB=60°，所以此時∠A=30°；
當O點在PB上，即BP為直徑，則∠A=90°；
所以當圓心O在∠APB內時，α的取值范圍為30°＜α＜90°；

（3）作BE⊥PC于E，如圖，
在Rt△PBE中，∠BPE=30°，PB=4

2

，
∴BE=

1

2

PB=2

2

，PE=

3

BE=2

6

，
∵△OBC為等邊三角形，
∴BC=OC=4，
在Rt△BEC中，CE=

BC2-BE2

=

42-(2 2 )2

=2

2

，
∴PC=PE+CE=2

6

+2

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和圓的切線的判定定理以及等邊三角形的性質；會運用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關系計算．