Question

如圖所示，在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8，D，E，F(xiàn)分別是三邊AB，BC，CA上的點，則DE+EF+FD的最小值為

 

．

Answer 1

分析：作F關于AB、BC的對稱點F′、F″，作AC關于AB、BC的對稱線段，可以發(fā)現(xiàn)F′，F(xiàn)″是一個菱形對邊上的關于中心B對稱的對稱點．容易發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)′F″的最短距離就是菱形對邊的距離，也就是菱形的高．根據(jù)菱形的性質即可求出DE+EF+FD的最小值．

解答：解：作F關于AB、BC的對稱點F′、F″
則FD=F′D，F(xiàn)E=F″E．
DE+EF+FD=DE+F′D+F″E．
兩點之間線段最短，可知當F固定時，DE+F′D+F″E的最小值就是線段F′F″的長．
于是問題轉化：F運動時，F(xiàn)′F″什么時候最短．
F′，F(xiàn)″是關于B點對稱的．
作AC關于AB、BC的對稱線段，可以發(fā)現(xiàn)F′，F(xiàn)″是一個菱形對邊上的關于中心B對稱的對稱點．
很容易發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)′F″的最短距離就是菱形對邊的距離，也就是菱形的高．
12×16=10x
x=

48

5

，高是

48

5

，
故DE+EF+FD的最小值為

48

5

．

點評：本題考查菱形的判定和性質及軸對稱--最短路線問題的綜合應用，有一定的難度．關鍵是確定F在斜邊上的高的垂足點，D、E在B點．