Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程-x²+（m+4）x-4m=0，其中0<m<4。
（1）求此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（用含m的代數(shù)式表示）
（2）設(shè)拋物線y=-x²+（m+4）x-4m與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），且AD·BD=10，求拋物線的解析式；
（3）已知點(diǎn)E（a，y₁）、F（2a，y₂）、G（3a，y₃）都在（2）中的拋物線上，是否存在含有y₁、y₂、y₃，且與n無(wú)關(guān)的等式？如果存在，試寫(xiě)出一個(gè)，并加以證明；如果不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）將原方程整理，得x²-（m+4）x+4m=0，
∵（0<m<4），△=b²-4ac=[-（m+4）]²-4（4m）=m²-8m+16=（m-4）2>0
∴x=
∴x=m或x=4；
（2）由（1）知，拋物線y=-x²+（m+4）x-4m與x軸的交點(diǎn)分別為（m，0）、（4，0），
∵A在B的左側(cè)，0<m<4，
∴A（m，0），B（4，0），則AD²=OA²+OD²=m²+2²=m²+4
BD²=OB²+OD²=4²+2²=20
∵AD·BD=10
∴AD²·BD²=100
∴20（m²+4）=100，解得m=±1
∵0<m<4，
∴m=1，
∴m+4=5，-4m=-4，
∴拋物線的解析式為y=x²+5x-4；
（3）存在含有y₁、y₂、y₃，且與a無(wú)關(guān)的等式，如：y₃=3（y₁-y₂）-4（答案不唯一）；
證明：由題意可得y₁=-a²+5a-4，y₂=-4a²+10a-4，y₃=-9a²+15a-4，
∵左邊=y₃=-9a²+15a-4，
右邊=-3（y₁-y₂）-4=-3[（-a²+5a-4）-（-4a²+10a-4）]-4=-9a²+15a-4，
∴左邊=右邊，∴y₃=-3（y₁-y₂）-4成立。