Question

閱讀材料：∵ax²+bx+c=0（a≠0）有兩根為x1=

-b+ b2-4ac

2a

．x2=

-b- b2-4ac

2a

．∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．綜上得，設(shè)ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．利用此知識解決：
（1）已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的兩根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²；②（x₁+1）（x₂+1）；
（2）是否存在實數(shù)m，使關(guān)于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2？若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵x₁，x₂是方程x²-x-1=0的兩根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
∴①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1-2×（-1）=3；
②（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=-1+1+1=1．
（2）設(shè)方程的兩根是a、b，則
a+b=-（m+1），ab=m+4，
a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+1）²-2（m+4）=2，
解得m=±3．