Question

如圖，四邊形OABC為等腰梯形，OA∥BC．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）．點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)N作NP⊥x軸于P，連接AC交NP于Q，連接MQ．設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△AMQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出t取何值時(shí)，△AMQ的面積最大；
（3）求t為何值時(shí)△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），根據(jù)“兩點(diǎn)法”可求直線AC的解析式；
（2）過B作BH⊥OA于H，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可求B點(diǎn)坐標(biāo)，由直線AC的解析式可表示線段PQ，又由已知可表示AM，再表示△AMQ的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；
（3）當(dāng)△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形，有兩種情況：①Q(mào)M=QA，②QM=MA，可根據(jù)圖形特征和勾股定理求解．

解答：解：
（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
把點(diǎn)A（4，0），C（1，2）代入得

4k+b=0 k+b=2

．
解得

k=- 2 3 b= 8 3

，
∴y=-

2

3

x+

8

3

（4分）

（2）過B作BH⊥OA于H，
∵C（1，2），由等腰梯形的性質(zhì)
∴AH=1，則OP=OA-AH-HP=4-1-BN=3-t
∵點(diǎn)Q是AC上的點(diǎn)
∴PQ=-

2

3

（3-t）+

8

3

（6分）
∵AM=OA-OM=4-2t
∴S=

1

2

AM•PQ=

1

2

（4-2t）（

2

3

t+

2

3

）=-

2

3

t²+

2

3

t+

4

3

；
（8分）
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，S_最大=

3

2

（10分）

（3）有以下兩種情形①Q(mào)M=QA，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)
此時(shí)MP=AP，
即3-3t=t+1，t=0.5（2分）
②QM=MA，即QM²=MA²，由勾股定理得MP²+PQ²=MA²
即（3-3t）²+（

2

3

t+

2

3

）²=（4-2t）²，t1=

59

49

，t₂=-1（舍去）
∴當(dāng)t=0.5或t1=

59

49

時(shí)，△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形．（2分）

點(diǎn)評：本題考查了直線解析式的求法，坐標(biāo)系中三角形面積的表示方法，二次函數(shù)的最大值問題，及尋找等腰三角形的條件．