Question

如圖，四邊形OABC為等腰梯形，OA∥BC．點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（1，2）．點M從O點出發(fā)以每秒2個單位的速度向終點A運動，同時點N從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向終點C運動，過點N作NP⊥x軸于P，連接AC交NP于Q，連接MQ．設點P，點Q運動的時間為t（s）．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設△AMQ的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并求出t取何值時，△AMQ的面積最大；
（3）求t為何值時△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）已知點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（1，2），根據(jù)“兩點法”可求直線AC的解析式；
（2）過B作BH⊥OA于H，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可求B點坐標，由直線AC的解析式可表示線段PQ，又由已知可表示AM，再表示△AMQ的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；
（3）當△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形，有兩種情況：①Q(mào)M=QA，②QM=MA，可根據(jù)圖形特征和勾股定理求解．

解答：解：
（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b，
把點A（4，0），C（1，2）代入得

4k+b=0 k+b=2

．
解得

k=- 2 3 b= 8 3

，
∴y=-

2

3

x+

8

3

（4分）

（2）過B作BH⊥OA于H，
∵C（1，2），由等腰梯形的性質(zhì)
∴AH=1，則OP=OA-AH-HP=4-1-BN=3-t
∵點Q是AC上的點
∴PQ=-

2

3

（3-t）+

8

3

（6分）
∵AM=OA-OM=4-2t
∴S=

1

2

AM•PQ=

1

2

（4-2t）（

2

3

t+

2

3

）=-

2

3

t²+

2

3

t+

4

3

；
（8分）
當t=

1

2

時，S_最大=

3

2

（10分）

（3）有以下兩種情形①Q(mào)M=QA，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)
此時MP=AP，
即3-3t=t+1，t=0.5（2分）
②QM=MA，即QM²=MA²，由勾股定理得MP²+PQ²=MA²
即（3-3t）²+（

2

3

t+

2

3

）²=（4-2t）²，t1=

59

49

，t₂=-1（舍去）
∴當t=0.5或t1=

59

49

時，△AMQ是以MQ為腰的等腰三角形．（2分）

點評：本題考查了直線解析式的求法，坐標系中三角形面積的表示方法，二次函數(shù)的最大值問題，及尋找等腰三角形的條件．