Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），且經(jīng)過直線y=x-2與x軸的交點B及與y軸的交點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的頂點坐標(biāo)；
（3）若點M在第四象限內(nèi)的拋物線上，且OM⊥BC，垂足為D，求點M的坐標(biāo)及四邊形OBMC的面積．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征確定B（2，0），C（0，-2），然后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式；
（2）把（1）的解析式y(tǒng)=x²-x-2配成頂點式得y=（x-

1

2

）²-

9

4

，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定頂點坐標(biāo)；
（3）由于△OBC為等腰直角三角形，而OM⊥BC，則OM的解析式為y=-x，可設(shè)M（x，-x），把它代入二次函數(shù)解析式得x²-x-2=-x，解得x₁=

2

，x₂=

2

．則M點坐標(biāo)為（

2

，-

2

），然后計算出OM=2，BC=2

2

，
再利用三角形面積公式計算四邊形OBMC的面積．

解答：解：（1）把y=0代入y=x-2得x-2=0，解得x=2，則B點坐標(biāo)為（2，0）；
把x=0代入y=x-2得y=-2，則C點坐標(biāo)為（0，-2），
根據(jù)題意得

a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=-2

，解得

a=1 b=-1 c=-2.

，
所以所求拋物線的解析式是y=x²-x-2；
（2）y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
所以拋物線的頂點坐標(biāo)為（

1

2

，-

9

4

）；
（3）∵OC=OB，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴OM的解析式為y=-x，
設(shè)M（x，-x），
∵點M在拋物線上，
∴x²-x-2=-x，
解得x₁=

2

，x₂=

2

．
∵點M在第四象限，
∴M點坐標(biāo)為（

2

，-

2

），
∴OM=2，BC=2

2

，
∴四邊形OBMC的面積=

1

2

OM•BC=

1

2

•2•2

2

=2

2

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．