Question

如圖，已知在Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，過A的任一條直線AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E

⑴求證：DE＝BD－CE

⑵如將直線AN繞A點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，使它不經(jīng)過△ABC的內(nèi)部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之間還存在等量關(guān)系嗎？如存在，請證明你的結(jié)論？

 

Answer 1

⑴證明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AN，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3

∵BD⊥AN，CE⊥AN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，在△ABD與△CAE中，∠BDA＝∠AEC，∠2＝∠3，AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵DE＝AE－AD，∴DE＝BD－CE

⑵證明：如圖所示，存在關(guān)系式為DE＝DB＋CE

∵BD⊥AN，CE⊥AN，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∠1＋∠3＝90°

∵∠BAC＝90°，∴∠2＋∠1＝180°－∠BAC＝180°－90°＝90°

∴∠2＝∠3　在△BDA和△AEC中，∠BDA＝∠CEA，∠2＝∠3，AB＝CA，∴△BDA≌△AEC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE