Question

如圖1，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（4，0）．
（1）BD平分∠ABO的外角，∠ADO=45°，求∠BAD的大��；
（2）在圖1中，求

AE

OB

的值；
（3）如圖2，點P在OB上，AP⊥PF，∠OBF=135°，問

AP

PF

是否變化？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可知A、B、O、D四點共圓，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可求得∠BAD；
（2）由條件可證明∠AOD=∠AEO，所以可得AE=OB，可求得比值為1；
（3）由條件可證明Rt△AEP∽Rt△FEB，進一步可證明△AEF∽△PEB，得到△APF為等腰三角形，則可得比值不變．

解答：解：（1）∵OA=OB，∠O=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠ABO=∠ADO=45°，
∴A、O、B、D四點共圓，
∴∠ODB=∠OAB=45°，
∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABX，∴∠ABD=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=22.5°；
（2）∵∠DAO=45°+22.5°=67.5°，∠ADO=45°，
∴∠AOD=67.5°，
又由△AOE內(nèi)角和為180°得，∠AEO=180°-∠OAB-∠DOA=67.5°，
∴AE=OA=OB，
∴

AE

OB

=1；
（3）連接AB，交PF于點E，連接AF，
∵OA=OB，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=135°-45°=90°，
∵∠AEP=∠FEB，
∴Rt△AEP∽Rt△FEB，
∴

AE

PE

=

EF

BE

，
∵∠AEF=∠PEB，
∴△AEF∽△PEB，
∴∠AFE=∠PBE=45°，
∴△APF為等腰三角形，
∴

AP

PF

=1，
即

AP

PF

不變．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握復雜圖形中尋找三角形相似的條件是解題的關(guān)鍵．