Question

點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且P點(diǎn)在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，則存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（

5

3

，±

33

9

）

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征知x₀²+3y₀²=4．首先，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）；然后，利用三角形的面積公式S=

1

2

absinC列出等式

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN．即

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

．易求y₀的值．

解答：解：∵點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）．
若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

，
∴

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

．
∵點(diǎn)P在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，
∴x₀²+3y₀²=4，
∴y₀=±

33

9

，
∴存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

3

，±

33

9

）．
故答案是：（

5

3

，±

33

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有關(guān)于x、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積公式等．解題時(shí)，注意利用“數(shù)形結(jié)合”的性質(zhì)，很容易得知sin∠APB=sin∠MPN．