Question

已知：如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，DF過(guò)圓心O交AB于點(diǎn)F，AB=BE，連接AC，且OD=3，AF=FB=

5

，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由于DF⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得出弧AD=弧BD，即∠DCA=∠DAB，因此△ADC和△EDA相似，所以本題可用形似三角形來(lái)求解．那么根據(jù)相似三角形可得出關(guān)于AC、AE、AD、DE的比例關(guān)系式，已知了圓的半徑和OF的長(zhǎng)，因此可連接OA求出FO的長(zhǎng)，進(jìn)而可在直角△ADF中求出AD的長(zhǎng)，同理可在直角△DFE中求出DE的長(zhǎng)，而AE=4AF，由此可求出AC的長(zhǎng)．

解答：解：連接OA，
∵DF過(guò)點(diǎn)O，AF=FB=

5

，
∴∠AFO=90°．
∴FO=

AO2-AF2

=

9-5

=2．
∴DF=DO+FO=5．
∴AD=

AF2+DF2

=

30

．
DE=

FE2+DF2

=

70

．
由垂徑定理知

AD

=

DB

，
∴∠DCA=∠DAB．
∵∠ADC是△ADC與△EDA的公共角，
∴△ADC∽△EDA．
∴

AC

AE

=

AD

DE

，

AC

4 5

=

30

70

．
∴AC=

4 105

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得出角相等進(jìn)而得出三角形相似是解題的關(guān)鍵．