(2012•鎮(zhèn)賚縣模擬)如圖,在半圓O中,AB為直徑,弦AP與BE相交于F,連接AE、BP,AP平分∠EAB.
(1)求證:△AEF∽△APB;
(2)若AE:AP=2:3,AF=4,求⊙O的半徑.
分析:(1)利用“兩個三角形的兩個角對應相等”證得△AEF∽△APB;
(2)根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列出比例式
AE
AP
=
AF
AB
,然后將已知條件代入該比例式即可求得⊙O的直徑AB=6,則⊙O的半徑是3.
解答:(1)證明:∵在半圓O中,AB為直徑,
∴∠AEB=∠APB=90°(直徑所對的圓周角是直角).
又∵AP平分∠EAB,
∴∠EAF=∠PAB,
∴△AEF∽△APB;

(2)∵△AEF∽△APB,
AE
AP
=
AF
AB

又∵AE:AP=2:3,AF=4,
2
3
=
4
AB
,
∴AB=6,
∴⊙O的半徑是
1
2
AB=3.
點評:本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì).圓周角必須滿足兩個條件:①定點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交,二者缺一不可.
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5
5
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10
10

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