Question

若干個(gè)1與2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，------，規(guī)則是：第1個(gè)數(shù)是1，第2個(gè)數(shù)是2，第3個(gè)數(shù)是1，一般地，先寫(xiě)一行1，再在第k個(gè)1與第k+1個(gè)1之間插入k個(gè)2（k=1，2，3，---）．試問(wèn)：（1）第2006個(gè)數(shù)是1還是2？
（2）前2006個(gè)數(shù)的和是多少？前2006個(gè)數(shù)的平方和是多少？
（3）前2006個(gè)數(shù)兩兩乘積的和是多少？

Answer 1

解：（1）把該列數(shù)如下分組：
1 第1組，
2 1 第2組，
2 2 1 第3組，
2 2 2 1 第4組，
2 2 2 2 1 第5組，
-------
2 2 2 2 2 1 第n組 （有n-1個(gè)2），
易得，第2006個(gè)數(shù)為第63組，第53個(gè)數(shù)，為2；

（2）前2006個(gè)數(shù)的和為62+1944×2=3950，
前2006個(gè)數(shù)的平方和是：62×1²+1944×2²=7838；

（3）記這2006個(gè)數(shù)為：
a₁，a₂，…a₂₀₀₆，
記R=a₁+a₂+…+a₂₀₀₆=3950，
T=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²，
=62×1²+1944×2²，
=7838，
S=a₁a₂+a₁a₃+…+a₁a₂₀₀₆+a₂a₃+a₂a₄+…+a₂a₂₀₀₆+…+a₂₀₀₅a₂₀₀₆，
∴2S=（a₁+a₂+…+a₂₀₀₆）²-（a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²），
=R²-T，
=3950²-7838，
S=（3950²-7862）=7797331．
分析：（1）根據(jù)規(guī)則可知第n-1行共有數(shù)字個(gè)數(shù)為2+3+4+…+n=-1，由于n=63時(shí)，數(shù)字個(gè)數(shù)為2015個(gè)，從而得出第2006個(gè)數(shù)；
（2）觀(guān)察數(shù)的排列可知每行有一個(gè)1，其余都是2，得出前2006個(gè)數(shù)中1的個(gè)數(shù)和2的個(gè)數(shù)．
（3）根據(jù)數(shù)字規(guī)律假設(shè)出R=a₁+a₂+…+a₂₀₀₆=3950，T=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²，進(jìn)而求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，解題的關(guān)鍵是得出每行有一個(gè)1，其余都是2，并且2的個(gè)數(shù)為公差為1的等差數(shù)列．