Question

26、如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點，CE⊥BD．
（1）求證：BE=AD；
（2）求證：AC是線段ED的垂直平分線；
（3）△DBC是等腰三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把要證明的線段AD和BE放到兩個三角形ABD和BCE中即可證明；
（2）根據等腰三角形的三線合一即可證明；
（3）根據（2）中的結論，即可證明CD=BC．

解答：證明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1與∠3互余，∠2與∠3互余，
∴∠1=∠2．
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=BC，
∴△BAD≌△CBE．
∴AD=BE．

（2）∵E是AB中點，
∴EB=EA．
由（1）AD=BE得：AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°．
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7．
由等腰三角形的性質，得：EM=MD，AM⊥DE．
即，AC是線段ED的垂直平分線．

（3）△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
由（2）得：CD=CE，
由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．

點評：綜合運用了全等三角形的性質和判定以及等腰三角形的性質．此類題注意已證明的結論的充分運用．