Question

已知：如圖，在⊙O中，點A、B在圓上，BC∥OA，交⊙O于點D，且OC⊥OB，∠OCA=∠B．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB=1，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC∥OA得AOC=∠OCB．又因為∠OCA=∠B，所以△ACO∽△OBC．∠CAO=∠BOC．由OC⊥OB，得∠BOC=90°．得到∠CAO=90°又由OA是半徑，從而求得．
（2）過點O作OE⊥BC于點E．可得，四邊形ACEO是矩形，DE=BE．所以CE=OA=OB=1．設BE=x，則BC=CE+BE=1+x．由∠BOC=∠BEO=90°，∠B=∠B，得△BOC∽△BEO．得到求得x，而得到．
解答：（1）證明：∵BC∥OA，
∴∠AOC=∠OCB．（1分）
又∵∠OCA=∠B，
∴△ACO∽△OBC．
∴∠CAO=∠BOC．
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90°．
∴∠CAO=90°．（2分）
又∵OA是半徑，
∴AC是⊙O的切線．（3分）

（2）解：過點O作OE⊥BC于點E．
可得，四邊形ACEO是矩形，DE=BE．
∴CE=OA=OB=1．（4分）
設BE=x，則BC=CE+BE=1+x
∵∠BOC=∠BEO=90°，∠B=∠B，
∴△BOC∽△BEO．
∴．
即．
∴x²+x-1=0．
解得（舍負）．
∴．（5分）
∴．（6分）
點評：本題考查了切線的判定和性質，主要考查了切線的判定和線段的求法．難度中等，需要仔細計算，思路性強．