Question

【題目】如圖，⊙O與直線l相離，OA⊥l于點A，OA交⊙O于點C，過點A作⊙O的切線AB，切點為B，連接BC交直線l于點D
（1）求證：AB=AD；
（2）若tan∠OCB=2，⊙O的半徑為3，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OB．

∵AB是⊙O的切線，OA⊥l，

∴∠OBA=∠OAD=90°，

又OB=OC，

∴∠OBC=∠COB=∠ACD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD；

（2）解：∵tan∠OCB=tan∠ACD= =2，⊙O的半徑是3，

設(shè)AC=a，則AB=AD=2a，

在Rt△AOB中，OA2=AB2+OB2，

∴（a+3）2=（2a）2+32，

∴a=2．

過點A作AE⊥BD，設(shè)AE=x，DE=2x，則5x2=16，x= ，

∴DE=BE= ，

∴BD= ．

【解析】（1）連接OB，利用切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)證明∠ADB=∠ABD，利用等角對等邊證得；（2）設(shè)AC=a，則AB=AD=2a，在Rt△AOB中利用勾股定理即可列方程求得a的值，進而求得BD的長．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理和解直角三角形的相關(guān)知識點，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題．