Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的長.

小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對稱知識，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題.
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
(2)設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

Answer 1

可求證∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°AE＝AF.∴四邊形AEGF是正方形.
（2）AD=12

解析試題分析：(1)證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF .
∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°.
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF.
∴四邊形AEGF是正方形.
(2)解：設(shè)AD＝x，則AE＝EG＝GF＝x.
∵BD＝4，DC＝6
∴BE＝4 ，CF＝6
∴BG＝x－4，CG＝x－6
在Rt△BGC中，BG²＋CG²＝BC²
∴( x－4)²＋(x－6)²＝10².
化簡得，x²－10x－24＝0 
解得x₁＝12，x₂＝－2（舍去）
所以AD＝x＝12
考點：四邊形與一元二次方程探究
點評：本題難度較大，主要考查學(xué)生對四邊形判定及一元二次方程綜合應(yīng)用的掌握能力，為中考�？碱}型，要求學(xué)生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用到考試中去。