Question

如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”。如4=2²－0²，12=4²－2²，20=6²－4²，因此，4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)。
【小題1】28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？
【小題2】設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？
【小題3】兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘嗎？為什么？

Answer 1

【小題1】∵28=8²-6²   2012=504²-502²
         ∴28和2012這兩個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)。
【小題2】設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)為x
∴x=(2k+2)-(2k)²
=4(2k+1)
∴這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)。
【小題3】由（2）可得，神秘?cái)?shù)可表示為4(2k+1)，因?yàn)?2k+1)是奇數(shù)，因此神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)。
設(shè)定兩個(gè)奇數(shù)為2n+1和2n-1，則(2n+1)²－(2n-1)²=8n.
∴兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)
∴兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)。

解析