Question

如圖，E、F是對角線BD上的兩點，給出下列三個條件：（1）BE=DF；（2）∠AEB=∠DFC；（3）AF∥EC．請你從中選擇一個條件，能使四邊形AECF是平行四邊形的選法有______種，請選擇一種加以證明．

Answer 1

解：請你從中選擇一個條件，能使四邊形AECF是平行四邊形的選法有3種，
（1）BE=DF
連接AE，與BD交于點O．
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴OA=OC，OB=OD
∵OB=BE+OE，OD=DF+OF
又∵BE=DF
∴OE=OF
∵OA=OC
∴四邊形AECF是平行四邊形

（2）∠AEB=∠DFC
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF
∵∠AEB=∠DFC
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE=CF
∵∠AEB=∠DFC
∴∠AEF=∠CFE
∴AE∥CF
∵AE=CF
∴四邊形AECF是平行四邊形

（3）AF∥EC
∵AF∥EC
∴∠AFB=∠CED
∴∠AFD=∠CEB
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD=BC，∠ADF=∠CBE
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴AF=EC
∵AF∥EC
∴四邊形AECF是平行四邊形
分析：本題是開放題，可以針對各種特殊的平行四邊形的判定方法，給出條件，再證明結(jié)論．答案可以有多種，主要條件明確，說法有理即可．
（1）BE=DF，要證明四邊形AECF是平行四邊形，可利用“對角線互相平分的四邊形“來判定．連接AE，與BD交于點O．
已知四邊形ABCD是平行四邊形，得到OA=OC，OB=OD；因為BE=DF，OB=BE+OE，OD=DF+OF，所以O(shè)E=OF；因為OA=OC，OE=OF，利用“對角線互相平分的四邊形“來判定四邊形AECF是平行四邊形．
（2）∠AEB=∠DFC，要證明四邊形AECF是平行四邊形，可利用“對邊平行且相等的四邊形“來判定．證AE∥CF，由已知可得；而AE=CF，四邊形ABCD是平行四邊形得出AB=CD，∠ABE=∠CDF
因∠AEB=∠DFC，所以△ABE≌△CDF（AAS），所以AE=CF
（3）AF∥EC，要證明四邊形AECF是平行四邊形，可利用“對邊平行且相等的四邊形“來判定．只需證AF=EC；因AF∥EC得出∠AFB=∠CED所以∠AFD=∠CEB，因此四邊形ABCD是平行四邊形推出AD=BC，∠ADF=∠CBE，△ADF≌△CBE（AAS）
點評：本題考查了平行四邊形的判定，平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．