Question

如圖，直線y=-

3

3

x+2與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)A，B．將△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），可得△COD．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D落在直線AB上時(shí)，直線CD與OA相交于點(diǎn)E，△COD和△AOB的重疊部分為△ODE（圖①）．求證：△ODE∽△ABO；
（3）除了（2）中的情況外，是否還存在△COD和△AOB的重疊部分與△AOB相似，若存在，請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）當(dāng)α=30°時(shí)（圖②），CD與OA，AB分別相交于點(diǎn)P，M，OD與AB相交于點(diǎn)N，試求△COD與△AOB的重疊部分（即四邊形OPMN）的面積．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�y=-

3

3

x+2與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，所以分別令x=0，y=0，即可得A、B坐標(biāo)．
并且可得OB=2，OA=2

3

，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°．
（2）利用旋轉(zhuǎn)可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°，△OBD是等邊三角形，所以可得∠DOE=90°-60°=30°=∠BAO，△ODE∽△AOB；
（3）利用直角三角形斜邊上的高的性質(zhì)可作OC⊥AB，設(shè)垂足為M，這時(shí)就有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B，△ODE∽△AOB，并且α=270°+30°=300°，即旋轉(zhuǎn)300°．
（4）當(dāng)α=30°時(shí)可知∠BNO=90°，∠D=60°，所以O(shè)D=2，ON=

3

，DN=2-

3

，MN=2

3

-3，△ODP是等邊三角形，OP=OD=2，S_陰影=S_△OPD-S_△DMN，運(yùn)用公式求面積．

解答：解：（1）令x=0，得y=2；令y=0，得x=2

3

，
所以A（2

3

，0），B（0，2）．
并且OB=2，OA=2

3

，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°．

（2）由旋轉(zhuǎn)可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°，
∵∠B=60°，
∴△OBD是等邊三角形，∠DOE=90°-60°=30°=∠BAO，
△ODE∽△AOB．

（3）有．
當(dāng)OC⊥AB時(shí)，設(shè)垂足為M，這時(shí)有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B
∴△OMB∽△AOB．
∴α=270°+30°=300°，
即旋轉(zhuǎn)300°．

（4）∵當(dāng)α=30°時(shí)∠BNO=90°，∠D=60°，
∴OD=2，ON=

3

，DN=2-

3

，MN=2

3

-3，△ODP是等邊三角形，OP=OD=2．
S_陰影=S_△OPD-S_△DMN
=

1

2

×2×

3

-

1

2

（2-

3

）（2

3

-3）
=6-

5

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用旋轉(zhuǎn)、相似三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題．