Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD于D，AC平分∠DAB．
求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：由于C是⊙O上一點，連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質和等邊對等角，可證得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．
解答：證明：
證法一：連接OC；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA；
∵AD⊥CD，
∴∠DAC+∠ACD=90°；
又∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
即OC⊥CD；
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．

證法二：連接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD；
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD；
又∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．
點評：此題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．