Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E、F、P分別是AB、CD、AD上的點(diǎn)（均不與正方形頂點(diǎn)重合）且PE=PF,PE⊥PF.

（1）求證：AE+DF=6

（2）設(shè)AE=，五邊形EBCFP的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）y＝x26x＋36，y的取值范圍是27≤y＜36．

【解析】

（1）根據(jù)∠A＝∠D＝∠EPF＝90°和PE＝PF的條件，易證△AEP與△DPF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；

（2）可以用x表示PD進(jìn)而表示AP，五邊形面積y等于正方形面積減去兩個(gè)全等三角形的面積，寫得y的函數(shù)解析式．把函數(shù)解析式寫出頂點(diǎn)式，結(jié)合x的取值范圍求出y的取值范圍．,

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEP＋∠APE＝90°，

∵PE⊥PF，

∴∠EPF＝90°，

∴∠APE＋∠DPF＝90°，

∴∠AEP＝∠DPF，

在△AEP與△DPF中，

，

∴△AEP≌△DPF（AAS），

∴AE=DP AP=DF，

∴DP+AP=AD=6；

（2）∵△AEP≌△DPF，

∴S△AEP＝S△DPF，DP＝AE＝x，

∴AP＝ADDP＝6x，

∴y＝S正方形ABCDS△AEP＝S△DPF＝S正方形ABCD2S△AEP＝AB22AEAP＝36x（6x）＝x26x＋36＝（x3）2＋27，

∵0＜x＜6，

∴x＝3時(shí)，y最小值為27；x＝0或6時(shí)，y＝（03）2＋27＝36，

∴27≤y＜36，

∴y＝x26x＋36，y的取值范圍是27≤y＜36．