Question

如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為

5

，O為原點(diǎn)，BC交y軸于點(diǎn)D，且D為BC邊的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)B、C且與y軸的交點(diǎn)為E(0，

10

3

)：
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；
（3）探索在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CF⊥x軸于F，在Rt△OCF中，易證得∠OCF=∠COD，則它們的正切值相同，可得CF=2OF，再根據(jù)勾股定理即可求出OF、CF的長(zhǎng)，由此可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出A、B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)已經(jīng)求得的A、B、C的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可求出其對(duì)稱(chēng)軸方程；
（3）若△PBC是直角三角形，存在三種情況：
①∠PBC=90°，則P點(diǎn)必為直線AB與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，可先求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②∠PCB=90°，則P點(diǎn)必為直線OC與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，方法同①；
③∠BPC=90°，可以BC為直徑作圓，那么P點(diǎn)即為圓與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)；可過(guò)D作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，設(shè)垂足為M，連接DP，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸即可得到DM的長(zhǎng)，而DP是圓的半徑即

1

2

BC長(zhǎng)，在Rt△DPM中，即可用勾股定理求出PM的值，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而P點(diǎn)橫坐標(biāo)與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的值相同，由此可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：
（1）過(guò)C作CF⊥x軸于F，由△FCO∽△DCO，D是BC中點(diǎn)，
∴CF=2OF，
設(shè)OF=x，則x²+（2x）²=5，
解得x=1，
∴C（1，2），（2分）
A（-2，1）、B（-1，3）．（2分）（各1分）

（2）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B，且與y軸交于E（0，

10

3

），則有：

4a-2b+c=1 a-b+c=3 c= 10 3

，
解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

，
∴拋物線的解析式為y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

，（3分）（如結(jié)論不對(duì)，能求得a、b各1分）
對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

3

10

；（1分）

（3）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有4個(gè)：P₁（-

3

10

，-

3

5

）、P₂（-

3

10

，

22

5

）、P₃（-

3

10

，

25-2 29

10

）、P₄（-

3

10

，

25+2 29

10

）．
（4分）（實(shí)際寫(xiě)出一個(gè)給1分）
（注：關(guān)于（3），若沒(méi)有具體寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)，能說(shuō)出有4個(gè)點(diǎn)，給（1分）；若說(shuō)明為以BC為直徑的圓與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)P₃、P₄符合條件，但未求出具體P，也給1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)．要注意的是（3）題中，由于直角三角形的直角頂點(diǎn)沒(méi)有確定，因此要分類(lèi)討論，以免漏解．