△ABC中,AB=AC,AD是底邊BC上的高,DE⊥AC于E,G是DE的中點,AG,BE相交于點H,BE,AD相交于點M
(1)如圖a,若∠BAC=60°,求證:△ADG∽△BCE;
(2)如圖b,連接DH,AM=1,BE=4AG,求DH的長.

(1)證明:∵∠BAC=60°,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,
∴BD=DC,∠DAC=∠EDC=30°,
∴在Rt△DEC中,=2,
=4,
在Rt△ADE中,
=2,
=4,
=,
∵∠ADE=∠C,
∴△ADG∽△BCE;

(2)解:∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠C,
∵∠DEC=∠AED=90°,
∴△CDE∽△DAE,
=,
=,
=,∠ADE=∠C,
∴△ADG∽△BCE,
==4,
==2,
∴tanC=
∴∠DAG=∠EBC,∠AMH=∠BMD,
∴∠AHE=∠ADB=90°,
設(shè)DG=a,則GE=a,EC=4a,DC=10a,
∴AD=5a,AE=a,
∴∠AGE=45°,
過點E作EF⊥BC于點F,過點H作GP⊥AD于點P,
∴EF=4a,F(xiàn)C=8a,BF=12a,
∵M(jìn)D∥EF,
∴△BMD∽△BEF,
=,
====tan∠MBD=tan∠DAG=,
在Rt△AHE中,AH==a,
在Rt△AMH中,
∵AM=a=1,
∴a=,AD=3,
∴AH=,AP=,DP=,PH=,
∴DH==
分析:(1)先根據(jù)∠BAC=60°,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,可得出BD=DC,∠DAC=∠EDC=30°,在Rt△DEC中,由直角三角形的性質(zhì)可知=2,所以=4,同理可得在Rt△ADE中,=2,=4,
故可得出=,再由∠ADE=∠C即可得出結(jié)論;
(2)由∠ADE+∠EDC=90°可知∠ADE=∠C,由相似三角形的判定定理可知△CDE∽△DAE,故可得出=,即=,=,∠ADE=∠C,進(jìn)而得出△ADG∽△BCE,tanC=,故可得出∠AHE=∠ADB=90°,設(shè)DG=a,則GE=a,EC=4a,DC=10a,所以AD=5a,AE=a,∠AGE=45°,過點E作EF⊥BC于點F,過點H作GP⊥AD于點P,根據(jù)MD∥EF可知△BMD∽△BEF,所以=,====tan∠MBD=tan∠DAG=,在Rt△AHE中可用a表示出AH的長,在Rt△AMH中,根據(jù)AM=a=1求出a的值,故可得出AH,AP,DP,PH的長,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.
點評:本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
(1)用尺規(guī)作圖的方法,過B點作∠ABC的平分線交AC于D(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)求證:BC=BD=AD;
(3)求證:AD2=AC•DC;
(4)設(shè)
CDDA
=x,求x.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15、如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E在直線BC上運動.如果∠DAE=l05°,△ABD∽△ECA,則∠BAC=
30
°.

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精英家教網(wǎng)△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點,若AB=4,BC=6,則△ADE的周長是
 

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13、在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC中線,已知△ABD和△BDC的周長之差為6,△ABC的周長是30,求這個等腰三角形的三邊長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在鈍角△ABC中,AB=AC,以BC為直徑作⊙O,⊙O與BA、CA的延長線分別交于D、E兩點精英家教網(wǎng),連接AO、BE、DC.
(1)求證:△ABO∽△CBD;
(2)若AB=2AD,且BC=2,求∠ACB的度數(shù).

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