Question

如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AE⊥CD，垂足為E，連接AC．
（1）求證：AC平分∠EAB；
（2）如果AE=2，EC=4，求⊙O直徑AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由CD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到CD垂直于OC，再由AE垂直于CD，得到AE與OC平行，利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）連接BC，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，由一對直角相等，第一問得到的一對角相等，得到三角形AEC與三角形ACB相似，由相似得比例，即可求出AB的長．

解答：解：（1）連接OC，
∵CD為圓O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠OCA=∠CAE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠CAE=∠OAC，
則AC平分∠EAB；

（2）連接BC，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAE=∠OCA，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴

AE

AC

=

AC

AB

，
∵在Rt△AEC中，AE=2，EC=4，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=

AE2+EC2

=2

5

，
∴AB=

AC2

AE

=

20

2

=10．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關鍵．