Question

（1）解方程：x²+3x+1=0
（2）已知方程x²-4x+m=0的一個(gè)根為-2，求方程的另一個(gè)根及m的值．
（3）已知如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，且AB=AD，AE⊥BC垂足為E，若AE=2

3

，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),解一元二次方程-公式法,根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理

專題：

分析：（1）運(yùn)用求根公式法就可以直接求出方程的解；
（2）先把x=2代入原方程求出m的值，再解出方程就可以求出另一根；
（3）作AM⊥CD的延長線于點(diǎn)M，就可以得出四邊形AECM是矩形，△AEB≌△AMD，就可以得出AM=AE．由矩形的性質(zhì)就可以求出矩形AECM的面積從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵x²+3x+1=0，
∴a=1，b=3，c=1，
∴b²-4ac=9-4=5＞0，
∴x=

-3± 5

2

，
∴x1=

-3+ 5

2

，x₂=

-3- 5

2

；
（2）∵-2是x²-4x+m=0的一個(gè)根，
∴4+8+m=0，
∴m=-12，
∴x²-4x-12=0，
∴（x-6）（x+2）=0，
∴x₁=6，x₂=-2．
∴另一根為6，m=-12．
（3）作AM⊥CD的延長線于點(diǎn)M，
∴∠M=90°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°．
∴∠AEB=∠M．
∵∠C=90°，
∴∠C=∠AEC=∠M=90°，
∴四邊形AECM是矩形，
∴∠MAE=90°，
∴∠EAD+∠MAD=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠DAM．
在△AEB和△AMD中，

∠AEB=∠M ∠BAE=∠DAM AB=AD

，
∴△AEB≌△AMD（AAS），
∴S_△AEB=S_△AMD，AM=AE．
∵AE=2

3

，
∴AM=2

3

．
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABE+S_{四邊形AECD}，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AMD+S_{四邊形AECD}，
∴S_{四邊形ABCD}=S_矩形AECM=2

3

×2

3

=12．
答：四邊形ABCD的面積為12．

點(diǎn)評：本題考查了公式法解一元二次方程的運(yùn)用，因式分解法解一元二次方程的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．