Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=10，點C是半徑OA上的動點（點C與點D、A不重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D，連接OD，過點B作OD的平行線交⊙O于點E，交射線CD于點F．
（1）若

ED

=

BE

，求∠F的度數(shù)；
（2）設(shè)線段OC=a，求線段BE和EF的長（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）設(shè)點C關(guān)于直線OD的對稱點為P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題,解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）連接OE，易證∠OBE=∠OEB=∠BOE，從而可求出∠OBE的度數(shù)，進而可求出∠F的度數(shù)．
（2）過點O作OH⊥BE于H，根據(jù)垂徑定理可得BH=HE=

1

2

BE．易證△OCD≌△BHO，則有OC=BH，從而可求出BE；由OD∥BF可得△COD∽△CBF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出BF，從而可求出EF的長．
（3）易證OD平分∠AOE，從而得到點C關(guān)于直線OD的對稱點P在OE上，則有OP=OC=a，PE=OE-OP=5-a，然后只需分PE=PB、EP=EB、BP=BE三種情況討論，就可解決問題．

解答：解：（1）連接OE，如圖1．
∵

ED

=

BE

，∴∠DOE=∠BOE．
∵OD∥BF，OB=OE，
∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠DOE，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE，
∵∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°，
∴3∠OBE=180°，
∴∠OBE=60°．
∵∠BCF=90°，
∴∠F=30°．

（2）過點O作OH⊥BE于H，如圖2，
則有BH=HE=

1

2

BE．
在△OCD和△BHO中，

∠OCD=∠BHO ∠COD=∠HBO OD=OB

，
∴△OCD≌△BHO（AAS），
∴OC=BH．
∵OC=a，
∴BE=2BH=2OC=2a．
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴

OD

BF

=

OC

BC

，
∴

5

BF

=

a

a+5

，
∴BF=

5a+25

a

=5+

25

a

，
∴EF=BF-BE=5+

25

a

-2a．
∴線段BE的長為2a，EF的長為5+

25

a

-2a．

（3）如圖3，
∵OD∥BF，OB=OE，
∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠DOE，
∴OD平分∠AOE，
∴點C關(guān)于直線OD的對稱點P在OE上，
∴OP=OC=a，PE=OE-OP=5-a．
①若PB=PE，
則有∠PBE=∠PEB．
∴∠PBE=∠OBE，
∴點P與點O重合，此時點C也與點O重合，
與條件矛盾，故舍去．
②若EP=EB，
則有5-a=2a，
解得：a=

5

3

．
③若BP=BE，
則∠BPE=∠BEP，
∴∠BPE=∠OBE．
又∵∠BEP=∠OEB，
∴△EPB∽△EBO，
∴

EP

EB

=

EB

EO

，
∴EB²=EO•EP，
∴（2a）²=5（5-a）
整理得：4a²+5a-25=0，
解得：a₁=

-5+5 17

8

，a₂=

-5-5 17

8

（舍去）．
綜上所述：當△PBE為等腰三角形時，OC的長為

5

3

或

-5+5 17

8

．

點評：本題主要考查了垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、角的軸對稱性等知識，有一定的綜合性．而證到△OCD≌△BHO是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運用分類討論的思想方法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．