(2008•重慶)已知:如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線過(guò)C(0,4)點(diǎn),可確定c=4,然后可將A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可得出二次函數(shù)的解析式.
(2)可先設(shè)Q的坐標(biāo)為(m,0);通過(guò)求△CEQ的面積與m之間的函數(shù)關(guān)系式,來(lái)得出△CQE的面積最大時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
△CEQ的面積=△CBQ的面積-△BQE的面積.
可用m表示出BQ的長(zhǎng),然后通過(guò)相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ邊上的高,進(jìn)而可根據(jù)△CEQ的面積計(jì)算方法得出△CEQ的面積與m的函數(shù)關(guān)系式,可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出△CEQ的面積最大時(shí),m的取值,也就求出了Q的坐標(biāo).
(3)本題要分三種情況進(jìn)行求解:
①當(dāng)OD=OF時(shí),OD=DF=AD=2,又有∠OAF=45°,那么△OFA是個(gè)等腰直角三角形,于是可得出F的坐標(biāo)應(yīng)該是(2,2).由于P,F(xiàn)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,因此可將F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標(biāo).
②當(dāng)OF=DF時(shí),如果過(guò)F作FM⊥OD于M,那么FM垂直平分OD,因此OM=1,在直角三角形FMA中,由于∠OAF=45°,因此FM=AM=3,也就得出了F的縱坐標(biāo),然后根據(jù)①的方法求出P的坐標(biāo).
③當(dāng)OD=OF時(shí),OF=2,由于O到AC的最短距離為2,因此此種情況是不成立的.
綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意,得
解得(2分)
∴所求拋物線的解析式為:y=-x2+x+4.

(2)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,0),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G.
由-x2+x+4=0,
得x1=-2,x2=4
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0)
∴AB=6,BQ=m+2
∵QE∥AC
∴△BQE∽△BAC



∴S△CQE=S△CBQ-S△EBQ
=BQ•CO-BQ•EG
=(m+2)(4-
=
=-(m-1)2+3
又∵-2≤m≤4
∴當(dāng)m=1時(shí),S△CQE有最大值3,此時(shí)Q(1,0).

(3)存在.在△ODF中.
(。┤鬌O=DF
∵A(4,0),D(2,0)
∴AD=OD=DF=2
又在Rt△AOC中,OA=OC=4
∴∠OAC=45度
∴∠DFA=∠OAC=45度
∴∠ADF=90度.此時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2)
由-x2+x+4=2,
得x1=1+,x2=1-
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,2)或P(1-,2).
(ⅱ)若FO=FD,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M
由等腰三角形的性質(zhì)得:OM=OD=1
∴AM=3
∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3
∴F(1,3)
由-x2+x+4=3,
得x1=1+,x2=1-
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,3)或P(1-,3).
(ⅲ)若OD=OF
∵OA=OC=4,且∠AOC=90°
∴AC=
∴點(diǎn)O到AC的距離為,而OF=OD=2,與OF≥2矛盾,所以AC上不存在點(diǎn)使得OF=OD=2,
此時(shí),不存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形
綜上所述,存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,2)或P(1-,2)或P(1+,3)或P(1-,3).
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了圖形平移變換、三角形相似、以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn),要注意的是(3)中不確定等腰三角形的腰是哪些線段時(shí),要分類(lèi)進(jìn)行討論.
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(3)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(3)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
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