Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝8，CD＝10．

(1)求梯形ABCD的面積S；

(2)動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向點A運動，過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．問：

①當點P在BA上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與△CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；

③在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)SABCD＝40；(2)①當t＝3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分；②t＝或t＝ 時，△PAD與△CQE相似；③t＝或8≤t＜10或10＜t≤12時，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．

【解析】

（1）求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和CD的長，在直角三角形中用勾股定理進行求解，得出高后即可求出梯形的面積．
（2）①PQ平分梯形的周長，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長，可以用t來表示出AP，BP，CQ，QD的長，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值．
②本題要分三種情況進行討論：
一，當P在AB上時，即0＜t≤8，如果兩三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根據(jù)∠C的正切值，求出t的值．
二，當P在AD上時，即8＜t≤10，由于P，A，D在一條直線上，因此構(gòu)不成三角形．
三，當P在CD上時，即10＜t≤12，由于∠ADC是個鈍角，因此△ADP是個鈍角三角形因此不可能和直角△CQE相似．
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值．
（3）和（2）相同也要分三種情況進行討論：
一，當P在AB上時，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過構(gòu)建直角三角形來表示出DP，PQ的長，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來求t的值．
二，當P在AD上時，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等．
三，當P在CD上時，即10＜t≤12，情況同二．
綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時，t的取值．

(1)過D作DH∥AB交BC于H點，

∵AD∥BH，DH∥AB，

∴四邊形ABHD是平行四邊形．

∴DH＝AB＝8；BH＝AD＝2．

∴CH＝8﹣2＝6．

∵CD＝10，

∴DH2+CH2＝CD2∴∠DHC＝90°．

∠B＝∠DHC＝90°．

∴梯形ABCD是直角梯形．

∴SABCD＝

(2)①∵BP＝CQ＝t，

∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t，

∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ，

∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t．

∴t＝3＜8．

∴當t＝3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分．

②第一種情況：0＜t≤8若△PAD∽△QEC則∠ADP＝∠C

∴tan∠ADP＝tan∠C＝

∴

∴t＝

若△PAD∽△CEQ則∠APD＝∠C

∴tan∠APD＝tan∠C＝

∴

∴t＝

第二種情況：8＜t≤10，P、A、D三點不能組成三角形；

第三種情況：10＜t≤12，△ADP為鈍角三角形與Rt△CQE不相似；

∴t＝或t＝時，△PAD與△CQE相似．

③第一種情況：當0≤t≤8時．過Q點作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．

∵AP＝8﹣t，AD＝2，

∴PD＝

∵CE＝t，QE＝t，

∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t．

∴PH＝t﹣t＝t．

∴PQ＝，DQ＝10﹣t．

Ⅰ：DQ＝DP，10﹣t＝，

解得t＝8秒．

Ⅱ：DQ＝PQ，10﹣t＝

化簡得：3t2﹣52t+180＝0

解得：t＝，t＝＞8(不合題意舍去)

∴t＝

第二種情況：8≤t≤10時．DP＝DQ＝10﹣t．

∴當8≤t＜10時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

第三種情況：10＜t≤12時．DP＝DQ＝t﹣10．

∴當10＜t≤12時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

綜上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12時，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．