Question

【題目】△ABC和△EFG是兩塊完全重合的等邊三角形紙片，(如圖①所示)O是AB(或EF)的中點(diǎn)，△ABC不動，將△EFG繞O點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)α﹝0°＜α＜120°﹞角．

（1）試分別說明α為多少度時，點(diǎn)F在△ABC外部、BC上、內(nèi)部（不證明）？

（2）當(dāng)點(diǎn)F不在BC上時，在圖②、圖③兩種情況下（設(shè)EF或延長線與BC交于P，EG與CA或延長線交于Q），分別寫出OP與OQ的數(shù)量關(guān)系，并將圖③情況給予說明．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0°＜α＜60°，點(diǎn)F在△ABC的外部；當(dāng)α＝60°，點(diǎn)F在BC的中點(diǎn)；當(dāng)60°＜α＜120°，點(diǎn)F在△ABC的內(nèi)部；（2）兩種情況下均有OP＝OQ；證明見解析

【解析】

（1）按照α＝60°，0＜α＜60°，60°＜α＜120°分類說明；
（2）利用ASA，尋找證明三角形全等的條件．

解：（1）當(dāng)α=60°時，如圖④，

∵∠COF=60°，O為AC，EF的中點(diǎn)，

∴OF=OC，

∴△COF是等邊三角形，

∴∠OCF=∠ACB=60°，

∴點(diǎn)F在BC邊上，

當(dāng)α=120°時，如圖⑤，則∠AOF=60°，

∵O為AC，EF的中點(diǎn)，

∴OF=AO，

∴△AOF為等邊三角形，

∴∠OAF=∠CAB=60°，

∴點(diǎn)F在AB邊上，

∴當(dāng)0°＜α＜60°，點(diǎn)F在△ABC的外部，
當(dāng)α＝60°，點(diǎn)F在BC的中點(diǎn)，
當(dāng)60°＜α＜120°，點(diǎn)F在△ABC的內(nèi)部；

（2）兩種情況下均有OP＝OQ；
證明：如圖③，由題意可知：∠E＝∠C＝60°，OE＝OC＝AC，∠EOQ＝∠COP，
∴△EOQ≌△COP（ASA），
∴OP＝OQ．