Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，在直線CD的上方，y軸及y軸的右側(cè)的平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似，請(qǐng)直接寫出符合要求的點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)M，過點(diǎn)M作一條直線交∠ADB于T，N兩點(diǎn)，
①當(dāng)∠DNT=90°時(shí)，直接寫出的值；
②當(dāng)直線TN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，
試說明：△DNT的面積S_△DNT=DN•DT；
并猜想：的值是否是定值？說明理由．

Answer 1

解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-4），
∵此拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，），
∴=a（0+2）（0-4），
解得：a=-，
∴拋物線的解析式為：y=-（x+2）（x-4），
即y=-x²+x+=-（x-1）²+3，
故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，3）；

（2）設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，
則，
解得：，
故直線CD的解析式為：y=x+，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（-8，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（4，4），
則OE=8，BF=4．
∵C（0，），B（4，0），
∴OC=，OB=4，
∴EB=12，
∴由勾股定理得：
EF=8，CE=．
∴CF=．
如圖1，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，則△COE∽△CGF，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（0，4）；
如圖2，過點(diǎn)F作GF⊥CD，交y軸于點(diǎn)G，則△COE∽△CFG，
∴，
∴，
∴CG=．
∴OG=8，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（0，8）；
若CG⊥FG，則△COE∽△CGF，
∴，
∴．
設(shè)G（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式為：
CG²=x²+（y-）²=x²+y²+-y，
GF²=（x-4）²+（y-4）²=x²+16-8x+y²+48-8y，
CF²=，OE²=64，CE²=，OC²=，
，
變形為：，
解得：，（舍去）．
∴G（0，4）．
綜上所述G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（0，4）、（0，8）．

（3）①∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，DM是對(duì)稱軸，
∴DA=DB，
∵tan∠DAB==
∴∠DAB=60°，
∴△DAB是等邊三角形，
∴∠ADB=60°．
∵∠DNT=90°，
∴∠DTN=∠MDN=30°，
∴DN=4.5，DT=9，
∴==．
②=
理由：作NH⊥DT于H，
∵S_△DNT=DT．NH
∴S_△DNT═DT．DN．sin60°
∴S_△DNT=DT．DN．
∵S_△DNT=S_△DMT+S_△DMN，
∴DT．DN=×DT•DM+DN•DM，
∴DT．DN=×DT•×3+DN•×3，
∴DT．DN=（DT+DN），
∴DT．DN=3（DT+DN），
∴=．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)直接運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，然后再化成頂點(diǎn)式就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分情況討論根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）①運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用求出DN、DT的值就可以求出結(jié)論；
②作NH⊥DT于H，可以表示出S_△DNT=DT．NH就可以得出S_△DNT═DT．DN．sin60°，從而得出S_△DNT=DT．DN．再由S_△DNT=S_△DMT+S_△DMN，就有DT．DN=×DT•DM+DN•DM，可以得出DT．DN=3（DT+DN），進(jìn)而得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理利用三角形的面積公式是關(guān)鍵．