Question

（1）如圖1，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E．
①求∠ABD 的度數(shù)；     ②求線段BE的長(zhǎng)．
（2）已知：如圖2，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，EA⊥AD，F(xiàn)D⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求證：∠ACE=∠DBF．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①證明△ABD為等邊三角形，即可解決問(wèn)題；
②求出BO的長(zhǎng)度，運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問(wèn)題．
（2）證明△AEC≌△DFB，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）①如圖1，∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD；而∠A=60°，AB=4，
∴△ABD為等邊三角形，且BD=AB=4；
∵△ABD為等邊三角形，
∴∠ABD=60°．
②∵O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴BO=DO=2；
∵OE⊥AB，∠EBO=90°，
∴sin60°=

OE

OB

，OE=

3

，BE=1．
（2）如圖2，
∵AB=DC，
∴AC=BD；而EA⊥AD，F(xiàn)D⊥AD，
∴∠A=∠D；
在△AEC與△DFB中，

AE=DF ∠A=∠D AC=BD

，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴∠ACE=∠DBF．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題；牢固掌握全等三角形的判定、菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵．