Question

已知：拋物線y=x²-2x-m（m＞0）與y軸交于點(diǎn)C，C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′點(diǎn)．
（1）求C點(diǎn)，C′點(diǎn)的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）；
（2）如果點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)P在拋物線上，以點(diǎn)C，C′，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求Q點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，求出平行四邊形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式y(tǒng)=x²-2x-m（m＞0）可求出對(duì)稱軸直線，令x=0，可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)其對(duì)稱軸可求出C′的坐標(biāo)．
（2）畫(huà)出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，令對(duì)邊平行且相等或?qū)�角線互相垂直平分解答．
（3）根據(jù)勾股定理求出各邊長(zhǎng)，即可求出四邊形周長(zhǎng)．

解答：解：（1）所求對(duì)稱軸為直線x=1，C（0，-m）C′（2，-m）；

（2）如圖所示
①當(dāng)PQ∥CC′且PQ=2時(shí)，P橫坐標(biāo)為3，代入二次函數(shù)解析式求得P（3，3-m），
②當(dāng)P′Q∥CC′且PQ=2時(shí)，P橫坐標(biāo)為-1，代入二次函數(shù)解析式求得P（-1，3-m），
③因?yàn)镃C′⊥Q'P″，當(dāng)Q′F=P″F，CF=C'F時(shí)，P″為二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，為（1，-1-m），
由于P″和Q′關(guān)于直線CC′對(duì)稱，
所以Q′縱坐標(biāo)為2（-m）+1+m=-m+1，
得Q′（1，1-m），
所以滿足條件的P、Q坐標(biāo)為P（-1，3-m），Q（1，3-m）；P′（3，3-m），Q（1，3-m）；P″（1，-1-m），Q′（1，1-m）．

（3）①因?yàn)镼點(diǎn)縱坐標(biāo)為3-m，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-m，
所以CW=3-m+m=3，又因?yàn)閃Q=1，
所以CQ=

12+32

=

10

，
又因?yàn)镃C′=2，
所以平行四邊形CC′P′Q周長(zhǎng)為（2+

10

）×2=4+2

10

，
同理，平行四邊形CC′QP周長(zhǎng)也為4+2

10

．
②因?yàn)镃F=1，F(xiàn)Q=

1

2

[1-m-（-1-m）]=1，C′Q=

12+12

=

2

．
平行四邊形CC′P′Q周長(zhǎng)為4

2

，
所求平行四邊形周長(zhǎng)為4+2

10

或4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道中考?jí)狠S題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．尤其是（2）題，有一定的開(kāi)放性，最好是借助圖象進(jìn)行解答．