Question

在圖1至圖2中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點(diǎn)是M．

(1)如圖1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM＝MH，FM⊥MH；

(2)將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形， 　　又∵點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合， 　　∴FB＝BM＝MG＝MD＝DH，∠FBM＝∠MDH＝90°． 　　∴△FBM≌△MDH．∴FM＝MH． 　　∵∠FMB＝∠DMH＝45°，∴∠FMH＝90°． 　　∴FM⊥HM　　4分 　　(2)證明：連接MB、MD，如圖，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P． 　　∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)， 　　∴MD∥BC，且MD＝BC＝BF；MB∥CD， 　　且MB＝CD＝DH． 　　∴四邊形BCDM是平行四邊形． 　　∴∠CBM＝∠CDM． 　　又∵∠FBP＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH． 　　∴△FBM≌△MDH．∴FM＝MH，且∠MFB＝∠HMD． 　　∴∠FMH＝∠FMD－∠HMD＝∠APM－∠MFB＝∠FBP＝90°． 　　∴△FMH是等腰直角三角形　　8分