Question

在△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)O(如圖)，△ABC可以繞點(diǎn)O作任意角度的旋轉(zhuǎn)．

(1)　當(dāng)點(diǎn)B在第一象限，縱坐標(biāo)是時，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；

(2)　如果拋物線(a≠0)的對稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，請你探究：

當(dāng)，，時，A，B兩點(diǎn)是否都在這條拋物線上？并說明理由

 

Answer 1

 

（1）

（2）理由略

解析:解：（1）∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴．  

設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是x(x>0)，則，           

解得　，(舍去)．

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是．…………………………………2分

（2）當(dāng)，，時，得

　　

．(＊)  

∵拋物線對稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，∴ C的橫坐標(biāo)為，                        

以下分兩種情況討論．

情況1：設(shè)點(diǎn)C在第一象限(如圖甲)，

．          

由此，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)， 

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，

∵　A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴　點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)．

將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入(＊)式右邊，計(jì)算得，即等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；

將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入(＊)式右邊，計(jì)算得，即等于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)．

∴在這種情況下，A，B兩點(diǎn)都在拋物線上． ……………………………………4分

情況2：設(shè)點(diǎn)C在第四象限(如圖乙)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，-)，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)．………………6分

經(jīng)計(jì)算，A，B兩點(diǎn)都不在這條拋物線上．            　              　…7分

(情況2另解：經(jīng)判斷，如果A，B兩點(diǎn)都在這條拋物線上，那么拋物線將開口向下，而已知的拋物線開口向上．所以A，B兩點(diǎn)不可能都在這條拋物線上)