Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，且C為

AE

的中點，AE交y軸于G點，若點A的坐標為（-2，0），AE=8．

（1）求點C的坐標；
（2）連接MG、BC，求證：MG∥BC；
（3）如圖2，過點D作⊙M的切線，交x軸于點P．動點F在⊙M的圓周上運動時，

OF

PF

的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）求C點的坐標，即求出OC的長．根據(jù)垂徑定理可得出弧CD=2弧AC，而題中已經(jīng)告訴了C是弧AE的中點，即弧AE=2弧AC，即弧CD=弧AE，因此CD=AE，那么OC=

1

2

AE=4，即可求出C點坐標；
（2）由于無法直接證明∠OMG=∠OBC來得出兩直線平行，因此可通過相似三角形來求解，可設出圓的半徑，然后分別求出OG、OM、OB的長，然后通過證OG、OM，OC、OB對應成比例來得出△OMG與△OBC相似來得出∠OMG=∠OBC，進行得出所求的結論；
（3）OF與OP的比例關系不變，在直角三角形DMP中，根據(jù)射影定理有DM²=MO•MP，①同理可求出OD²=OM•OP；
②然后分三種情況：
A：F與A重合時，OF=OA，PF=PA，可根據(jù)②求出OP的長根據(jù)①求出MP的長即可求出OP的長，進而可求出所求的比例關系；
B：F與B重合，同一；
C：F不與A、B重合．可通過相似三角形來求解．由于MF=DM，根據(jù)①可得出△OMF與△FMP相似，可得出

OF

PF

=

OM

MF

=

OM

MA

．
綜合三種情況即可得出OF：PF的值．

解答：（1）解：方法（一）
∵直徑AB⊥CD，
∴CO=

1

2

CD，

AD

=

AC

，
∵C為

AE

的中點，
∴

AC

=

CE

，
∴

AE

=

CD

，
∴CD=AE，
∴CO=

1

2

CD=4，
∴C點的坐標為（0，4）．
方法（二）如圖1，連接BG，GM，連接CM，交AE于點N，
∵C為

AE

的中點，M為圓心，
∴AN=

1

2

AE=4，
CM⊥AE，
∴∠ANM=∠COM=90°，
在△ANM和△COM中：
∵

∠CMO=∠AMN ∠ANM=∠COM AM=CM

，
∴△ANM≌△COM（AAS），
∴CO=AN=4，
∴C點的坐標為（0，4）．

（2）證明：設半徑AM=CM=r，則OM=r-2，
由OC²+OM²=MC²得：
4²+（r-2）²=r²，
解得：r=5，（1分）
∴OM=r-OA=3
∵∠AOC=∠ANM=90°，
∠EAM=∠MAE，
∴△AOG∽△ANM，
∴

OG

MN

=

AO

AN

，
∵MN=OM=3，
即

OG

3

=

2

4

，
∴OG=

3

2

，（2分）
∵

OG

OC

=

1.5

4

=

3

8

，

OM

OB

=

3

8

，
∴

OG

OC

=

OM

OB

，
∵∠BOC=∠BOC，
∴△GOM∽△COB，
∴∠GMO=∠CBO，
∴MG∥BC．

（3）解：如圖2，連接DM，則DM⊥PD，DO⊥PM，
∴△MOD∽△MDP，△MOD∽△DOP，
∴DM²=MO•MP；
DO²=OM•OP，
即4²=3•OP，
∴OP=

16

3

．
當點F與點A重合時：

OF

PF

=

AO

AP

=

2

16 3 -2

=

3

5

，
當點F與點B重合時：

OF

PF

=

OB

PB

=

8

16 3 +8

=

3

5

，
當點F不與點A、B重合時：連接OF、PF、MF，
∵DM²=MO•MP，
∴FM²=MO•MP，
∴

FM

OM

=

MP

FM

，
∵∠AMF=∠FMA，
∴△MFO∽△MPF，
∴

OF

PF

=

MO

MF

=

3

5

．
∴綜上所述，

OF

PF

的比值不變，比值為

3

5

．

點評：命題立意：考查坐標系和圓的有關知識．