如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從點C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A,B移動,同時動點P從點B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,設(shè)移動時間為t(單位:秒,0<t<2.5).
(1)當(dāng)t為何值時,以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似?
(2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:根據(jù)勾股定理求得AB=5cm.
(1)分類討論:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況.利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值;
(2)如圖,過點P作PH⊥BC于點H,構(gòu)造平行線PH∥AC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值;然后根據(jù)“S=S△ABC-S△BPH”列出S與t的關(guān)系式S=(t-2+(0<t<2.5),則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值.
解答:解:∵如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.
∴根據(jù)勾股定理,得=5cm.
(1)以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況:
①當(dāng)△AMP∽△ABC時,=,即=
解得t=;
②當(dāng)△APM∽△ABC時,=,即=,
解得t=0(不合題意,舍去);
綜上所述,當(dāng)t=時,以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似;

(2)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:
假設(shè)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.
如圖,過點P作PH⊥BC于點H.則PH∥AC,
=,即=,
∴PH=t,
∴S=S△ABC-S△BPN
=×3×4-×(3-t)•t,
=(t-2+(0<t<2.5).
>0,
∴S有最小值.
當(dāng)t=時,S最小值=
答:當(dāng)t=時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是
點評:本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例,二次函數(shù)最值的求法以及三角形面積公式.解答(1)題時,一定要分類討論,以防漏解.另外,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解題時,務(wù)必找準(zhǔn)對應(yīng)邊.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,點E是AB上一點,以AE為直徑的⊙O過點D,且交AC于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點D,求點D到BC的距離.

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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
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5
,則cos∠CBD的值是(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點,連接DE,點P從點A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運動,到點B停止.點P在AD上以
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cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當(dāng)點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC于點Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設(shè)點P的運動時間為t(s).
(1)當(dāng)點P在線段DE上運動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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