Question

如圖，直線y=-2x+4與x軸、y軸分別于A、B兩點，點D在y軸上，且DB=DA，延長AD到C，使DC=DA，雙曲線y=

k

x

過點C．

（1）求k的值．
（2）如圖，直線y=-x交雙曲線y=

k

x

（x＜0）于G，Q為雙曲線的圖象上另一點，連OQ，GN⊥OQ于N，GM⊥x軸于M，若四邊形OMGN的面積為4，求線段MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點A、B的坐標(biāo)，即0A=2，OB=4．在Rt△A0D中，由勾股定理就可以求得OD=

3

2

；然后通過全等三角形（△AOD≌△CHD）對應(yīng)邊相等推知CH=OA=2，DH=OD=

3

2

，則C（-2，3），所以利用待定系數(shù)法求得k的值即可；
（2）如圖2，過M作ME⊥OQ于點E，MF⊥NG，交NG延長線于點F，構(gòu)建全等三角形：△MOE≌△MGF．則由全等三角形的對應(yīng)邊相等推知MF=ME，由Rt△MOE≌Rt△MGF可得四邊形OMGN的面積等于正方形MFNE的面積，所以FM=FN=2，在Rt△MFN中，由勾股定理得MN=2

2

．

解答：解：（1）如圖1，過C作CH⊥x軸于H．
∵直線y=-2x+4與x軸、y軸分別于A、B兩點，
∴當(dāng)y=0時，x=2，即A（2，0）．
當(dāng)x=0時，y=4，即B（0，4）．
∴0A=2，OB=4．
設(shè)OD=x，則AD=BD=4-x，
在Rt△A0D中，由勾股定理得2²+x²=（4-x）²，
∴x=

3

2

，
∵DC=OA，易證△AOD≌△CHD
∴CH=OA=2，DH=OD=

3

2

∴C（-2，3），
∵點C在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=3×（-2）=-6；

（2）如圖2，過M作ME⊥OQ于點E，MF⊥NG，交NG延長線于點F．
∵直線y=-x交雙曲線y=-

6

x

（x＜0）于G，
∴GM=OM=

6

，
∵∠MOE+∠MGN=∠MGF+∠MGN=180°
∴∠MOE=∠MGF，
∴在△MOE與△MGF中，

∠MEO=∠MFG ∠MOE=∠MGF OM=GM

∴△MOE≌△MGF（AAS），
∴MF=ME，易得四邊形MFNE是正方形，由△MOE≌△MGF可得四邊形OMGN的面積等于正方形MFNE的面積，
∴FM=FN=2，
在Rt△MFN中，由勾股定理得MN=2

2

．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的圖象，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．注意勾股定理適用于直角三角形中．