Question

如圖1，四邊形ABCD中，AD⊥AB，AB∥CD，AB=15，AD=12，DC=10，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動；同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動．連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形CPQB為平行四邊形？
（2）如圖2所示，若M點(diǎn)是射線AB上的一個動點(diǎn)，且自B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位的速度向終點(diǎn)向右運(yùn)動，若M與P、Q同時出發(fā)，連接PM，當(dāng)t為何值時，△PQM為等腰三角形？（請直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意，可用t表示出BQ與CP的長，即可得當(dāng)BQ=CP時，四邊形CPQB為平行四邊形，即15-2t=t，解此方程即可求得答案；
（2）首先過P作PE⊥QM于E，即可用t表示出QE與EM的長，然后分別從當(dāng)PQ=PM時，當(dāng)PQ=QM時，當(dāng)PM=QM時，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：CP=t，AQ=2t，
∴BQ=AB-AQ=15-2t，
∵AB∥CD，
∴當(dāng)BQ=CP時，四邊形CPQB為平行四邊形，
即15-2t=t，
解得：t=5，
∴當(dāng)t=5秒時，四邊形CPQB是平行四邊形；

（2）過P作PE⊥QM于E，
則四邊形AEPD是矩形，
∴AE=PE=CD-PC=10-t，
∴QE=AE-AQ=10-3t，
∴EM=15-（10-3t）=3t+5．
①當(dāng)PQ=PM時，3t+5=10-3t，
解得：t=

5

6

；
②當(dāng)PQ=QM時，（10-3t）²+12²=15²，
即（10-3t）²=9²，
∴10-3t=±9，
解得：t=

1

3

或t=

19

3

；
③當(dāng)PM=QM時，（3t+5）²+12²=15²，
∴（3t+5）²=9²，
∴3t+5=±9，
解得：t=

4

3

或t=-

14

3

（舍）；
綜上所述：當(dāng)t=

1

3

，

5

6

，

4

3

，

19

3

時，△PQM為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題屬于四邊形的綜合題．此題難度較大，涉及了平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．