Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．

（1）求證：BC平分∠PDB；
（2）求證：BC²=AB•BD；
（3）若PA=6，PC=6，求BD的長．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，

∵PD為圓O的切線，∴OC⊥PD。
∵BD⊥PD，∴OC∥BD�！唷螼CB=∠CBD。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。
∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。
（2）證明：連接AC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°。
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。
∴，即BC²=AB•BD。
（3）∵PC為圓O的切線，PAB為割線，∴PC²=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12。
∴AB=PB－PA=12－6=6�！郞C=3，PO=PA+AO=9。
∵△OCP∽△BDP，∴，即。
∴BD=4。

（1）連接OC，由PD為圓O的切線，由切線的性質得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC與BD平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證。
（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形，根據(jù)一對直角相等，以及（1）的結論得到一對角相等，確定出△ABC與△BCD相似，由相似得比例，變形即可得證。
（3）由切割線定理列出關系式，將PA，PC的長代入求出PB的長，由PB﹣PA求出AB的長，確定出圓的半徑，由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似，由相似得比例，將OC，OP，以及PB的長代入即可求出BD的長。