Question

在平面直角坐標系xoy中，以點A（3，0）為圓心，5為半徑的圓與x軸相交于點B、C（點B在點C的左邊），與y軸相交于點D、M（點D在點M的下方）．
（1）求以直線x=3為對稱軸，且經過D、C兩點的拋物線的解析式；
（2）若E為直線x=3上的任一點，則在拋物線上是否存在這樣的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點A的坐標求出B、C的坐標，再根據勾股定理求出D的坐標，設出拋物線的解析式，由待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）根據平行四邊形的性質從兩種情況進行解答，當BC為平行四邊形的一邊時，必有 EF∥BC，且EF=BC=10．設出F的坐標，代入拋物線的解析式，可以求出符合條件的點F有兩個如（圖1）；當BC為平行四邊形的對角線時，有AE=AF，如（圖2）．根據拋物線的對稱性就可以求出點F的坐標．
解答：解：（1）如圖，∵圓以點A（3，0）為圓心，5為半徑，
∴根據圓的對稱性可知 B（-2，0），C（8，0）．
連接AD．
在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5，
∴OD=4．
∴點D的坐標為（0，-4）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx-4，
又∵拋物線經過點C（8，0），且對稱軸為x=3，
∴
解得  
∴所求的拋物線的解析式為 ．

（2）存在符合條件的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
分兩種情況．
Ⅰ：當BC為平行四邊形的一邊時，
必有 EF∥BC，且EF=BC=10．
∴由拋物線的對稱性可知，
存在平行四邊形BCEF₁和平行四邊形CBEF₂．如（圖1）．
∵E點在拋物線的對稱軸上，∴設點E為（3，e），且e＞0．
則F₁（-7，t），F₂（13，t）．
將點F₁、F₂分別代入拋物線的解析式，解得 ．
∴F點的坐標為或．
Ⅱ：當BC為平行四邊形的對角線時，
必有AE=AF，如（圖2）．
∵點F在拋物線上，∴點F必為拋物線的頂點．
由，
知拋物線的頂點坐標是（3，）．
∴此時F點的坐標為．
∴在拋物線上存在點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
滿足條件的點F的坐標分別為：，，．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了二次函數的圖象性質，待定系數法求二次函數的解析式，平行四邊形的判定及性質，勾股定理的運用．