Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=8，BC=12，∠ACB=30°，E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正三角形BEF，使正三角形BEF和梯形ABCD在BC的同側(cè)．
（l）當(dāng)正三角形BEF的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，求BE的長(zhǎng)；
（2）將（1）問中的正三角形BEF沿BC向右平移，記平移中的正三角形BEF為正三角形B′E′F′，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．設(shè)平移的距離為x，正三角形B′E′F′的邊B′E′和E′F′分別與AC交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接，DM，DN：
①設(shè)正三角形B′E′F′與△ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍，求當(dāng)DN取得最小值時(shí)，求出S的值；
②是否存在這樣的x，使三角形DMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 

Answer 1

分析：（1）如圖1，作FQ⊥BC于Q，DH⊥BC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)就可以求出BF的值，從而求出BE的值而得出結(jié)論；
（2））①如圖2，作NG⊥BC于G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以求出B′M、MC、E′N的值，再利用三角形的面積公式就可以求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)DN⊥AC時(shí)，DN的值最小，在直角三角形中根據(jù)勾股定理就可以求出x的值，從而求出此時(shí)x的值；
（3）根據(jù)圖3、圖4三種情況當(dāng)∠DMN=90°、∠DNM=90°或∠MDN=90°時(shí)由直角三角形的性質(zhì)討論討論就可以求出x的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，作FQ⊥BC于Q，DH⊥BC于H，
∴∠FQC=∠DHC=90°．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠6=30°．
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠3=60°．
∵BC=12，
∴AB=4

3

，AC=8

3

，
∴DH=4

3

．
∵CD=8，
∴cos∠7=

3

2

，
∴∠7=30°，
∴∠DCH=60°，
∴∠8=30°，
∴∠8=∠DAC，
∴AD=DC=8．
∵△BEF是等邊三角形，
∴∠1=∠4=60°，BF=BE=EF，
∴∠2=∠5=30°，
∴∠AFB=90°．
∴∠5=∠6，
∴EF=EC．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
AF=2

3

，BF=6，
∴BE=6．
（2）①如圖2，作NG⊥BC于G，
∴∠NGC=90°．
∵∠F′B′C=60°，∠ACB=30°，
∴∠B′MC=90°．
∵BB′=x，
∴B′C=12-x，CE′=12-6-x=6-x
∴B′M=6-

1

2

x，MC=6

3

-

3

2

x，E′N=6-x，
∴GE′=3-

1

2

x，GN=3

3

-

3

2

x，
∴S=

(6- 1 2 x)(6 3 - 3 2 x)

2

-

(6-x)(3 3 - 3 2 x)

2

，
S=-

3

8

x2+9

3

，（0≤x≤6），
∵DN最小，
∴DN⊥AC，
在Rt△DNC中，由勾股定理，得
DN=4，CN=4

3

，
在Rt△GNC中，由勾股定理，得
GN=2

3

，
在Rt△GNE′中，由勾股定理，得
GE′=2，E′N=4．
∴CE′=4．
∴BB′=12-4-6=2．
∴S=-

3

8

×4+9

3

，
=9

3

-

3

2

=

17

2

3

②如圖3，當(dāng)DN⊥AC于N時(shí)，作NG⊥BC于G，
∴∠DNM=∠DNC=∠NGC=90°，
在Rt△DNC中，由勾股定理，得
DN=4，CN=4

3

，
在Rt△NGC中，由勾股定理，得
NG=2

3

，
在RtNGE′中，由勾股定理，得
GE′=2，NE′=4，
∴CE′=4，
∴x=12-6-4=2；
如圖4，當(dāng)DM⊥AC于M時(shí)，
∴∠AMC=90°，
在Rt△DMC中由勾股定理，得
DM=3，MC=4

3

．
∵∠F′B′E′=60°，∠ACB=30°，
∴∠B′MC=90°，
在Rt△B′MC中，由勾股定理，得
B′M=4，B′C=8，
∴x=12-8=4；
通過作圖為，當(dāng)∠MDN=90°時(shí)，直角三角形DMN不存在．
故x的值為：2或4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及圖形運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，解答時(shí)抓住等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是重點(diǎn)．