Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若過點(diǎn)C的直線y=kx+b與拋物線相交于點(diǎn)E （4，m），請(qǐng)求出△CBE的面積S的值；
（3）寫出二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x的取值范圍；
（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)指出一共有幾個(gè)滿足條件的點(diǎn)P，并求出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在這樣的點(diǎn)P，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-5），把C的坐標(biāo)代入求出即可；
（2）求出E的坐標(biāo)，把C（0，5），E（4，-3）代入y=kx+b得到方程組，求出方程組的解即可得到一次函數(shù)的解析式，求出直線與X軸的交點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）根據(jù)圖象即可求出答案；
（4）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）∵A（1，0），B（5，0），
設(shè)拋物線y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-5），
把C（0，5）代入得：5=a（0-1）（0-5），
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
答：拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=x²-6x+5．

（2）把x=4代入y=x²-6x+5得：y=-3，
∴E（4，-3），
把C（0，5），E（4，-3）代入y=kx+b得：

5=b -3=

4k+b，
解得：k=-2，b=5，
∴y=-2x+5，
CE交X軸于D，
當(dāng)y=0時(shí)，0=-2x+5，
∴x=

5

2

，
∴OD=

5

2

，
BD=5-

5

2

=

5

2

，
∴△CBE的面積是：S_△CBD+S_△EBD=

1

2

×

5

2

×5+

1

2

×

5

2

×|-3|=10，
答：△CBE的面積S的值是10．

（3）由圖象知：當(dāng)x＜0或x＞4時(shí)，二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值，
答：二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x的取值范圍是x＜0或x＞4．

（4）∵拋物線的頂點(diǎn)P（3，-4）既在拋物線的對(duì)稱軸上又在拋物線上，
∴點(diǎn)P（3，-4）為所求滿足條件的點(diǎn)．
除P點(diǎn)外，在拋物線上還存在其它的點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形．
理由如下：
∵AP=BP=

22+42

=2

5

＞4，
∴分別以A、B為圓心半徑長(zhǎng)為4畫圓，分別與拋物線交于點(diǎn)B、P₁、P₂、P₃、A、P₄、P₅、P₆，除去B、A兩個(gè)點(diǎn)外，其余6個(gè)點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)線段的垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．