(2012•沈陽)已知,如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(-2,0),點B坐標為(0,2),點E為線段AB上的動點(點E不與點A,B重合),以E為頂點作∠OET=45°,射線ET交線段0B于點F,C為y軸正半軸上一點,且OC=AB,拋物線y=-
2
x2+mx+n的圖象經過A,C兩點.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求證:∠BEF=∠AOE;
(3)當△EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;
(4)在(3)的條件下,當直線EF交x軸于點D,P為(1)中拋物線上一動點,直線PE交x軸于點G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的(2
2
+1)倍?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)首先求出點C的坐標,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)利用三角形外角性質,易證∠BEF=∠AOE;
(3)當△EOF為等腰三角形時,有三種情況,需要分類討論,注意不要漏解;
(4)本問關鍵是利用已知條件求得點P的縱坐標,要點是將△EPF與△EDG的面積之比轉化為線段之比.如圖④所示,首先證明點E為DF的中點,然后作x軸的平行線FN,則△EDG≌△EFN,從而將△EPF與△EDG的面積之比轉化為PE:NE;過點P作x軸垂線,可依次求出線段PT、PM的長度,從而求得點P的縱坐標;最后解一元二次方程,確定點P的坐標.
解答:解:(1)如圖①,∵A(-2,0)B(0,2)
∴OA=OB=2,
∴AB2=OA2+OB2=22+22=8
∴AB=2
2
,
∵OC=AB
∴OC=2
2
,即C(0,2
2

又∵拋物線y=-
2
x2+mx+n的圖象經過A、C兩點
則可得
-4
2
-2m+n=0
n=2
2
,
解得
m=-
2
n=2
2

∴拋物線的表達式為y=-
2
x2-
2
x+2
2


(2)∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF,
∴∠BEF=∠AOE.

(3)當△EOF為等腰三角形時,分三種情況討論
①當OE=OF時,∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中,∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
則此時點E與點A重合,不符合題意,此種情況不成立.
②如圖2,當FE=FO時,
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中,
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO,
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由(2)可知,∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO,
∴BF=EF,
EF=BF=
1
2
OB=
1
2
×2=1 
∴E(-1,1)
③如圖③,當EO=EF時,過點E作EH⊥y軸于點H
在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE,EO=EF,∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF,
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB,
∴∠EHB=90°,
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO,
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中,∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2×
2
2
=
2

∴OH=OB-BH=2-
2
∴E(-
2
,2-
2

綜上所述,當△EOF為等腰三角形時,所求E點坐標為E(-1,1)或E(-
2
,2-
2
).

(4)假設存在這樣的點P.
當直線EF與x軸有交點時,由(3)知,此時E(-
2
,2-
2
).
如圖④所示,過點E作EH⊥y軸于點H,則OH=FH=2-
2

由OE=EF,易知點E為Rt△DOF斜邊上的中點,即DE=EF,
過點F作FN∥x軸,交PG于點N.
易證△EDG≌△EFN,因此S△EFN=S△EDG,
依題意,可得
S△EPF=(2
2
+1)S△EDG=(2
2
+1)S△EFN,
∴PE:NE=(2
2
+1):1.
過點P作PM⊥x軸于點M,分別交FN、EH于點S、T,則ST=TM=2-
2

∵FN∥EH,
∴PT:ST=PE:NE=2
2
+1,
∴PT=(2
2
+1)•ST=(2
2
+1)(2-
2
)=3
2
-2;
∴PM=PT+TM=2
2
,即點P的縱坐標為2
2
,
∴-
2
x2-
2
x+2
2
=2
2
,
解得x1=0,x2=-1,
∴P點坐標為(0,2
2
)或(-1,2
2
).
綜上所述,在直線EF上方的拋物線上存在點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的(2
2
+1)倍;
點P的坐標為(0,2
2
)或(-1,2
2
).
點評:本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、等腰三角形、直角三角形、全等三角形與相似三角形的性質等重要的知識點,難度較大.第(2)問注意分類討論思想的應用,注意不要漏解;第(3)問中,將三角形面積之比轉化為線段之比,這是解題的重要技巧,也是本題的難點.
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8
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(2)點C為線段OB上一動點(點C不與點O,B重合),作CD∥y軸交直線l2于點D,過點C,D分別向y軸作垂線,垂足分別為F,E,得到矩形CDEF.
①設點C的縱坐標為a,求點D的坐標(用含a的代數(shù)式表示)
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3
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(1)求AP的長;
(2)求證:點P在∠MON的平分線上.
(3)如圖②,點C,D,E,F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO,OB,BP,PA的中點,連接CD,DE,EF,F(xiàn)C,OP.
①當AB⊥OP時,請直接寫出四邊形CDEF的周長的值;
②若四邊形CDEF的周長用t表示,請直接寫出t的取值范圍.

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