Question

（2012•沈陽(yáng)）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°，射線ET交線段0B于點(diǎn)F，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=AB，拋物線y=-

2

x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D，P為（1）中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PE交x軸于點(diǎn)G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2

2

+1）倍？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）利用三角形外角性質(zhì)，易證∠BEF=∠AOE；
（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解；
（4）本問(wèn)關(guān)鍵是利用已知條件求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，要點(diǎn)是將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比．如圖④所示，首先證明點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)，然后作x軸的平行線FN，則△EDG≌△EFN，從而將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為PE：NE；過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，可依次求出線段PT、PM的長(zhǎng)度，從而求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；最后解一元二次方程，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖①，∵A（-2，0）B（0，2）
∴OA=OB=2，
∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8
∴AB=2

2

，
∵OC=AB
∴OC=2

2

，即C（0，2

2

）
又∵拋物線y=-

2

x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)
則可得

-4 2 -2m+n=0 n=2 2

，
解得

m=- 2 n=2 2

．
∴拋物線的表達(dá)式為y=-

2

x²-

2

x+2

2

．

（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE．

（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論
①當(dāng)OE=OF時(shí)，∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
則此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，此種情況不成立．
②如圖2，當(dāng)FE=FO時(shí)，
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中，
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO，
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由（2）可知，∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
EF=BF=

1

2

OB=

1

2

×2=1 
∴E（-1，1）
③如圖③，當(dāng)EO=EF時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H
在△AOE和△BEF中，
∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF，
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB，
∴∠EHB=90°，
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO，
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2×

2

2

=

2

∴OH=OB-BH=2-

2

∴E（-

2

，2-

2

）
綜上所述，當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，所求E點(diǎn)坐標(biāo)為E（-1，1）或E（-

2

，2-

2

）．

（4）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P．
當(dāng)直線EF與x軸有交點(diǎn)時(shí)，由（3）知，此時(shí)E（-

2

，2-

2

）．
如圖④所示，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H，則OH=FH=2-

2

．
由OE=EF，易知點(diǎn)E為Rt△DOF斜邊上的中點(diǎn)，即DE=EF，
過(guò)點(diǎn)F作FN∥x軸，交PG于點(diǎn)N．
易證△EDG≌△EFN，因此S_△EFN=S_△EDG，
依題意，可得
S_△EPF=（2

2

+1）S_△EDG=（2

2

+1）S_△EFN，
∴PE：NE=（2

2

+1）：1．
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，分別交FN、EH于點(diǎn)S、T，則ST=TM=2-

2

．
∵FN∥EH，
∴PT：ST=PE：NE=2

2

+1，
∴PT=（2

2

+1）•ST=（2

2

+1）（2-

2

）=3

2

-2；
∴PM=PT+TM=2

2

，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2

2

，
∴-

2

x²-

2

x+2

2

=2

2

，
解得x₁=0，x₂=-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2

2

）或（-1，2

2

）．
綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2

2

+1）倍；
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2

2

）或（-1，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰三角形、直角三角形、全等三角形與相似三角形的性質(zhì)等重要的知識(shí)點(diǎn)，難度較大．第（2）問(wèn)注意分類討論思想的應(yīng)用，注意不要漏解；第（3）問(wèn)中，將三角形面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比，這是解題的重要技巧，也是本題的難點(diǎn)．