【題目】如圖,已知直線y=﹣x+2x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C,拋物線y=﹣+bx+c過(guò)點(diǎn)B、C,且與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)A.

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線ly軸交該拋物線于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形OMNC是平行四邊形時(shí),求它的面積;

(3)聯(lián)結(jié)AC,設(shè)點(diǎn)D是該拋物線上的一點(diǎn),且滿足∠DBA=CAO,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1);(2)4;(3)(﹣5,﹣18)或(3,2).

【解析】

(1)根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式列式求解即可;

(2)設(shè)M(m,-m+2),則N(m,-m2+m+2),則MN=(-m2+m+2)-(-m+2)=-m2+2m,根據(jù)MN=OC=2列方程可得M的橫坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形的面積公式可得結(jié)論;

(3)分兩種情況:①當(dāng)Dx軸的下方:根據(jù)ACBD,直線解析式k相等可設(shè)直線BD的解析式為:y=2x+b,把B(4,0)代入得直線BD的解析式為:y=2x-8,聯(lián)立方程可得D的坐標(biāo);②當(dāng)Dx軸的上方,根據(jù)對(duì)稱可得M的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求直線BM的解析式,與二次函數(shù)的交點(diǎn),聯(lián)立方程可得D的坐標(biāo).

(1)當(dāng)x=0時(shí),y=2,

C(0,2),

當(dāng)y=0時(shí),﹣x+2=0,x=4,

B(4,0),

C(0,2)和B(4,0)代入拋物線y=﹣+bx+c中得:

解得:,

∴該拋物線的表達(dá)式:y=;

(2)如圖1,

C(0,2),

OC=2,

設(shè)M(m,﹣m+2),則N(m,),

MN=(+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,

MNy軸,

當(dāng)四邊形OMNC是平行四邊形時(shí),MN=OC,

即﹣m2+2m=2,

解得:m1=m2=2,

Sspan>OCMN=OC×2=2×2=4;

(3)分兩種情況:

當(dāng)y=0時(shí),﹣+2=0,

解得:x1=4,x2=﹣1,

A(﹣1,0),

易得直線AC的解析式為:y=2x+2,

①當(dāng)Dx軸的下方時(shí),如圖2,

ACBD,

∴設(shè)直線BD的解析式為:y=2x+b,

B(4,0)代入得:0=2×4+b,b=﹣8,

∴直線BD的解析式為:y=2x﹣8,

2x﹣8=+2,解得:x1=﹣5,x2=4(舍),

D(﹣5,﹣18);

②當(dāng)Dx軸的上方時(shí),如圖3,

作拋物線的對(duì)稱軸交直線BDM,將BE(圖2中的點(diǎn)D)于N,

對(duì)稱軸是:x=﹣=

∵∠CAO=ABE=DAB,

MN關(guān)于x軸對(duì)稱,

直線BE的解析式:y=2x﹣8,

當(dāng)x=時(shí),y=﹣5,

N(,﹣5),M(,5),

直線BM的解析式為:y=﹣2x+8,

﹣2x+8=﹣+2,解得:x1=3,x2=4(舍),

D(3,2),

綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(﹣5,﹣18)或(3,2).

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(1)求拋物線的解析式;

(2)在l上是否存在一點(diǎn)P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)知F(x0,y0)為平面內(nèi)一定點(diǎn),M(m,n)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等,求定點(diǎn)F的坐標(biāo).

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1)方程的兩個(gè)解分別為、,則 , ;

2)方程的兩個(gè)解中較大的一個(gè)為 ;

3)關(guān)于的方程的兩個(gè)解分別為),求

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(1)tanDAB;

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(1)如圖1,當(dāng)EFBC時(shí),求AE的長(zhǎng);

(2)如圖2,以EF為直徑作⊙O,O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C交邊CD于點(diǎn)G(點(diǎn)C、G不重合),設(shè)AE的長(zhǎng)為x,EH的長(zhǎng)為y;

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;

②聯(lián)結(jié)EG,當(dāng)△DEG是以DG為腰的等腰三角形時(shí),求AE的長(zhǎng).

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