Question

如圖所示，已知⊙O的直徑AB=1，延長AB到C，使BC=AB，過C作⊙O的切線CD，D為切點，連接AD、BD．求：
（1）CD的長；
（2）AD：BD的值；
（3）△ABD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結OD，根據切線的性質得OD⊥DC，由于BC=AB=1得到OD=，OC=，然后根據勾股定理可計算出DC=；
（2）由AB為直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠OBD=90°，又∠CDB+∠ODB=90°，而∠ODB=∠OBD，可得到∠CDB=∠A，根據三角形相似的判定方法得到△CDB∽△CAD，則DB：DA=CD：CA=：2，即可得到AD：BD的值；
（3）利用AD：BD的值可設DB=x，則AD=x，在Rt△ADB中，利用勾股定理得到（x）²+x²=1，解得x=，則DB=，AD=，然后根據三角形面積公式可計算出△ABD的面積．
解答：解：（1）連結OD，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OD⊥DC，
∵BC=AB=1，
∴OD=，OC=，
在Rt△ODC中，DC===；

（2）∵∠CDB+∠ODB=90°，
而∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB+∠OBD=90°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°，
∴∠CDB=∠A，
而∠C公共，
∴△CDB∽△CAD，
∴DB：DA=CD：CA=：2，
∴AD：BD=2：=：1；

（3）設DB=x，則AD=x，
在Rt△ADB中，AB=1，
∵AD²+DB²=AB²，
∴（x）²+x²=1，
解得x=，
∴DB=，AD=，
∴△ABD的面積=×DB×AD=××=．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理．