Question

【題目】如圖①，拋物線交正半軸于點，將拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位得到拋物線，與交于點，直線交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是拋物線上（含端點）間的一點，作軸交拋物線于點，連按，．當的面積為時， 求點的坐標；

（3）如圖②，將直線向上平移，交拋物線于點、，交拋物線于點、，試判斷的值是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為（4，0）或（5，5）；（3）的值的定值，理由見解析．

【解析】

(1)先將拋物線M1：y=x2-4x化為頂點式，由平移規(guī)律“上加下減，左加右減”可直接寫出拋物線M2的解析式；

(2) 分別求出點A，點B，點C的坐標，求出m的取值范圍，再用含m的代數式表示出△CPQ的面積，可用函數的思想求出其最大值；

(3) 設將直線OB向上平移k個單位長度得到直線EH，分別求出點E，F，G，H的橫坐標，分別過G，H作y軸的平行線，過E，F作x軸的平行線，構造全等三角形△GEM與△HFN，可通過全等三角形的性質求出的值為定值1.

（1）

將其先向右平移個單位，再向上平移3個單位的解析式為：

（2）拋物線與交于點

解得，

將點代入

得，

拋物線與直線交于點

解得，，，

設點的坐標為，則，

即：

解得：，

在中

當時，，，

在中

根據二次函數的圖象及性質可知

當時，有最大值，最大值為

（3）的值的定值，理由如下：

設直線向下平移個單位長度得到直線

則

令

解得，，

，

令

解得，，

，

分別過，作軸的平行線,過，作軸的平行線，交點分別為，，，如下圖所示：

則，

的值的定值是